当题目中数据较大，而且计算中出现过除法的时候。往往取模会出错

当计算 （A/B) % c    等价于  （A*B1)% c

其中 B1 是 B 的逆元。

那么逆元如何求呢。

先给出逆元的定义

a*x ≡1 （mod n)  ，如果x是方程的解，则x称作 a 关于模 n 的逆。

a的逆元存在是有条件的： 方程ax-ny==1 要有解 则 1必须是gcd（a,n)的倍数 ，因此，a和n必须素质，

即 gcd（a,n)==1 在这个前提下 ax≡1（mod n) 只有唯一解。  

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现在我们来证明上面的结论：用若b*b1 % c == 1，则( a/b ) % c ！= ( a*b1 ) % c

若我们证明这一命题是错误的，我们目的就达到了。

令，a/b   == k1*c+y1

    a*b1 == k2*c+y2

原来的证明则变成了：若b*b1 % c == 1，则 y1!=y2

两式相减，有 a/b-a*b1 == (k1-k2)*c + (y1-y2)

设 k == k1-k2

     y == y1-y2

有，a/b-a*b1 == k*c + y

左右乘以b，有 a*(1-b*b1) == k*b*c + b*y

左右模上c，

左边 == a*(1-b*b1)%c

        == ( a*( 1%c - b*b1%c ) )%c

        == 0

右边 == (k*b*c + b*y)%c

        == b*y%c

因为a/b为整除，b显然不会是0，那么y必须是0，这与命题矛盾，证毕

为什么求逆元会用扩展欧几里得？

我们的目标，其实是解b*b1 % c == 1

令 b*b1 == k*c + 1

即 -k*c + b*b1 == 1

仔细观察，这个不就是扩展欧几里得嘛。

那么，为什么gcd(b,c)==1，才会有逆元变得简单了。

因为 1 % gcd(b,c) == 0 ，扩展欧几里得才有解，具体来说，gcd(b,c)只能为1

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其实还有一种比较优的方法（快速幂，费马小定理）

费马小定理：是若a为整数，p为素数，则可写出同余方程a^(p-1)≡1(mod p)

故a*a^(p-2)≡1(mod p)，a^(p-2)是a的逆元。

一个快速幂搞定。

 

 

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